נקודות חיתוך, קיצון וסקיצה מבגרות 482 – f(x) = 2 − 4(sin x)²חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 20
בגרות 482 · קיץ 2022 מועד ב׳ · שאלה 3 · סעיפים א–ג
שיעור 20 – נקודות חיתוך, קיצון וסקיצה מבגרות 482 – f(x) = 2 − 4(sin x)²
פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x
3סעיף ב – נקודות קיצון פנימיות
4סעיף ג – סקיצה
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 2 − 4(sin x)2 המוגדרת בתחום: −3π4 ≤ x ≤ 3π4 .
א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x .
ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקצייה f(x) , וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x) .
סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x
על ציר ה־x מתקיים y = 0 , ולכן משווים את הפונקציה ל־0:
2 − 4(sin x)2 = 0
4(sin x)2 = 2
(sin x)2 = 12
מוציאים שורש – לא לשכוח את שני הסימנים:
sin x = ±1√2 = ±√22
סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x · המשך
sin x = ±1√2 = ±√22
כלומר sin x = √22 או sin x = −√22 .
אפשרות 1: sin x = √22 . הזווית שהסינוס שלה √22 היא π4 :
x = π4 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π − π4 + 2πk = 3π4 + 2πk
בתחום מתקבלים (עבור k = 0 ):
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x · המשך
בתחום מתקבלים (עבור k = 0 ):
x = π4 , x = 3π4
אפשרות 2: sin x = −√22 . הזווית היא −π4 :
sin(−π4) = −sin π4 = −√22
📐 זווית נגדית
x = −π4 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π + π4 + 2πk = 5π4 + 2πk
📐 זווית נגדית
sin(−x) = −sin x
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x · המשך
x = π + π4 + 2πk = 5π4 + 2πk
במשפחה הראשונה k = 0 נותן x = −π4 . במשפחה השנייה k = −1 נותן:
x = 5π4 − 2π = −3π4
בסך הכול ארבע נקודות חיתוך (שתיים מהן בקצות התחום):
x = −3π4 , −π4 , π4 , 3π4
✅ פתרון סופי: (−3π4 , 0) , (−π4 , 0) , (π4 , 0) , (3π4 , 0)
סעיף ב – נקודות קיצון פנימיות
הנגזרת. המספר 2 נגזר ל־0. את 4(sin x)2 גוזרים לפי נגזרת של חזקה, עם u = sin x :
[(sin x)2]′ = 2sin x · cos x
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
f′(x) = −4 · 2sin x · cos x
f′(x) = −8sin x · cos x
משווים ל־0:
−8sin x · cos x = 0
📐 נקודת קיצון
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
סעיף ב – נקודות קיצון פנימיות · המשך
−8sin x · cos x = 0
📐 נקודת קיצון
לכן sin x = 0 או cos x = 0
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin x = 0 . הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0:
x = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π + 2πk
בתוך התחום רק x = 0 . הפתרונות π ו־−π מחוץ לתחום (π גדול מ־3π4 ).
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ב – נקודות קיצון פנימיות · המשך
בתוך התחום רק x = 0 . הפתרונות π ו־−π מחוץ לתחום (π גדול מ־3π4 ).
אפשרות 2: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −π2 + 2πk
עבור k = 0 שני הפתרונות בתוך התחום:
x = −π2 , x = 0 , x = π2
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ב – נקודות קיצון פנימיות · המשך
x = −π2 , x = 0 , x = π2
סוג הנקודות – ציר עם הנקודות וקצות התחום. נציב בנגזרת מספר מכל תחום:
ב־x = −2π3 (רביע שלישי) sin x ו־cos x שליליים:
f′(−2π3) = −8 · (−) · (−) < 0
f′(−π4) = −8 · (−√22) · √22 = 4 > 0
f′(π4) = −8 · √22 · √22 = −4 < 0
סעיף ב – נקודות קיצון פנימיות · המשך
f′(π4) = −8 · √22 · √22 = −4 < 0
ב־x = 2π3 (רביע שני) sin x חיובי ו־cos x שלילי:
f′(2π3) = −8 · (+) · (−) > 0
שיעורי y – מציבים בפונקציה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 2 − 4(sin x)2
סעיף ב – נקודות קיצון פנימיות · המשך
f(x) = 2 − 4(sin x)2
נציב x = 0 :
f(0) = 2 − 4(sin 0)2
f(0) = 2 − 4 · 02 = 2
נציב x = π2 :
f(π2) = 2 − 4(sin π2)2
סעיף ב – נקודות קיצון פנימיות · המשך
f(π2) = 2 − 4(sin π2)2
f(π2) = 2 − 4 · 12 = −2
נציב x = −π2 :
f(−π2) = 2 − 4(sin(−π2))2
f(−π2) = 2 − 4 · (−1)2 = −2
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 2) , מינימום (−π2 , −2) , (π2 , −2)
סעיף ג – סקיצה
מסמנים את ארבע נקודות החיתוך מסעיף א ואת שלוש נקודות הקיצון מסעיף ב. בין הנקודות הגרף עולה ויורד לפי הציר של סעיף ב:
בקצות התחום x = ±3π4 הגרף מגיע לציר ה־x (נקודות החיתוך שבקצוות).
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
📌 סיכום התשובות
סעיף א
(±3π4 , 0) , (±π4 , 0)
סעיף ב
מקס. (0 , 2) , מינ. (±π2 , −2)
סעיף ג
סקיצה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא